Порядок решения фермМетод вырезания узлов — 9 шагов
Порядок решения — это рецепт. 9 шагов — от эскиза до итоговой таблицы.
Статическая определимость → Реакции → Нулевые стержни → Узлы → Проверки
В каждом шаге: цель, формула и порядок действий. Типичная ошибка — только там, где она действительно случается, и где она встречается во флагманской задаче.
- Ферма Прямые стержни, соединённые в узлах, а нагрузки действуют только на узлы → каждый стержень растягивается или сжимается только вдоль своей длины.
- Знаки t = тонна (единица силы). Момент: сила, вращающая вокруг точки по часовой стрелке, +, против − . Например, сила вниз справа от точки — по часовой стрелке.
- Опоры треугольник = шарнирная опора (AX, AY) · треугольник на колёсах = подвижная опора (BY)
-
01
Эскиз и обозначения
Цель обозначить узлы, стержни, опоры, нагрузки и размеры
Всё, что нужно расчёту, — записано на эскизе.
Опоры Подвижная опора Одна реакция — перпендикулярно поверхности Шарнирная опора Две реакции — горизонтальная и вертикальная Обозначения Узлы Буквы: A, B, C… Стержни Номера: N1, N2, N3… Порядок действий
- Буква для каждого узла, номер для каждого стержня.
- Реакции: у шарнирной опоры AX и AY, у подвижной опоры одна реакция перпендикулярно поверхности. Направление принимаем — знак результата его исправит.
- Каждая нагрузка — в своём узле, с величиной и направлением.
- Размеры — только горизонтальные и вертикальные, как на чертеже.
-
02
Проверка статической определимости
Цель Убедиться, что ферма статически определима
У каждого узла два уравнения, ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Неизвестные: усилие в каждом стержне и каждая реакция.
m + r = 2j- m
- Число стержней
- r
- Число реакций
- j
- Число узлов
Порядок действий
- Считаем m, r и j. Шарнирная опора = 2 реакции, подвижная опора = 1. Опорные узлы считаются.
- m + r = 2j → статически определима, продолжаем.
- m + r < 2j → механизм, конструкция неустойчива.
- m + r > 2j → статически неопределима.
⚠ Типичная ошибка Шарнирную опору считают за одну реакцию.
- Почему это ошибка
- Получается m + r < 2j, и ошибочно заключают, что конструкция неустойчива.
- Как избежать
- Шарнирная опора = 2, подвижная опора = 1.
- В главной задаче
- r = 2 + 1 = 3, поэтому 9 + 3 = 12 = 2 · 6 — статически определима. При r = 2 получается 11 < 12.
-
03
Реакции
Цель найти реакции опор
Из равновесия всей фермы — до узлов.
ΣMA = 0ΣFx = 0ΣFy = 0- A
- Шарнирная опора
- плечо
- Расстояние по перпендикуляру от линии действия силы до A
Порядок действий
- ΣM = 0 относительно шарнирной опоры: остаётся одно неизвестное — реакция второй опоры.
- Каждый член = сила × плечо. Для вертикальной силы плечо — горизонтальное расстояние от A.
- Выбираем положительное направление вращения и сохраняем его во всём уравнении.
- ΣFx = 0 → при только вертикальных нагрузках AX = 0.
- ΣFy = 0 → вертикальная реакция шарнирной опоры.
- Отрицательный результат → реакция действует противоположно принятому.
⚠ Типичная ошибка Часть плеч измеряют от A, а часть — от B.
- Почему это ошибка
- Уравнение моментов записывают относительно одной точки — плечо от другой точки даёт неверную реакцию.
- Как избежать
- Записываем ΣMA и измеряем все плечи от A.
- В главной задаче
- Относительно A: 4 t на плече 2 m, 1 t на плече 4 m, поэтому BY = 12 / 6 = 2 t. Кто берёт для 1 t расстояние от B, получает BY = 1.667 t.
-
04
Углы и разложение усилий в стержнях
Цель найти угол каждого наклонного стержня и разложить усилие в нём
Усилие в наклонном стержне раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие.
tan α = ΔyΔxNx = N · cos αNy = N · sin α- α
- Угол стержня к горизонтали
- Δx, Δy
- Горизонтальная длина и высота стержня
Порядок действий
- tan α = Δy / Δx. Стержни с одинаковыми размерами — одинаковый угол.
- Горизонтальная составляющая = N · cos α, вертикальная составляющая = N · sin α.
- Каждая составляющая направлена в ту же сторону, что и стрелка стержня, — по таблице.
- Горизонтальный или вертикальный стержень — не раскладываем.
Направление составляющих
Вниз-вправоFx → вправоFy ↓ внизВниз-влевоFx ← влевоFy ↓ внизВверх-влевоFx ← влевоFy ↑ вверхВверх-вправоFx → вправоFy ↑ вверх⚠ Типичная ошибка Путают sin и cos или измеряют α от вертикали.
- Почему это ошибка
- Горизонтальная составляющая попадает в вертикальное уравнение.
- Как избежать
- α всегда от горизонтали: горизонтальная → cos, вертикальная → sin.
- В главной задаче
- В N1: Δx = Δy = 2 m, поэтому α = 45° и cos α = sin α = 0.707. Здесь подмена не видна — при любом другом угле она меняет результат.
-
05
Нулевые стержни
Цель Заранее определить стержни, усилие в которых равно нулю
Нулевой стержень не несёт усилия при заданной нагрузке. Правила — только в узле без нагрузки и без опоры.
Правило 1 2 стержня Не на одной прямой → оба нулевые стержни Правило 2 3 стержня Два на одной прямой → третий — нулевой стержень Порядок действий
- Находим узлы, где нет ни нагрузки, ни опоры.
- Применяем подходящее правило и отмечаем нулевой стержень на эскизе.
- В следующих узлах нулевой стержень входит как 0.
⚠ Типичная ошибка Применяют правило к узлу, в котором есть нагрузка или опора.
- Почему это ошибка
- Нагрузка или реакция уравновешивает стержни — они не обязаны быть нулевыми.
- Как избежать
- Сначала спрашиваем: есть ли в узле нагрузка? Опора? Если да — не применяем.
- В главной задаче
- В C нет ни нагрузки, ни опоры, а N2, N6 на одной прямой — поэтому N3 = 0. В B два стержня не на одной прямой, но есть опора: N8 = −2.828 t и N9 = 2 t.
-
06
Выбор узла
Цель Выбрать, с какого узла начать и куда двигаться дальше
В каждом узле два уравнения — поэтому не более двух неизвестных.
Неизвестных в узле ≤ 2Порядок действий
- Начинаем с опорного узла, где не более 2 неизвестных.
- Найденное усилие известно и в узле на другом конце стержня.
- Переходим к соседнему узлу, где осталось не более 2 неизвестных.
⚠ Типичная ошибка Берутся за узел с 3 неизвестными стержнями.
- Почему это ошибка
- Два уравнения не решают три неизвестных.
- Как избежать
- Считаем неизвестные, прежде чем браться за узел.
- В главной задаче
- Вначале в D четыре неизвестных, а в A два — начинаем с A. Порядок: A → C → D → E → B
-
07
Свободное тело и уравнения узла
Цель Решить узел двумя уравнениями равновесия
Вырезаем узел и рисуем на нём все силы.
ΣFx = 0ΣFy = 0Вправо и вверх — положительноНаправление стрелки стержня в узле Неизвестный стержень Принимаем растяжение — стрелка выходит из узла Известен, растянут Стрелка выходит; подставляем величину Известен, сжат Стрелка входит; подставляем величину, без минуса Карточки знаков — стержень между двумя узлами
+ растяжениеНа стержне: стрелки направлены внутрьНа узле: стрелка выходит− сжатиеНа стержне: стрелки направлены наружуНа узле: стрелка входитПорядок действий
- Рисуем узел с нагрузками, реакциями и всеми его стержнями — стрелки по таблице.
- Наклонный стержень раскладываем: горизонтальная N · cos α, вертикальная N · sin α.
- Сначала решаем ось с одним неизвестным, а результат подставляем во вторую ось с полученным знаком.
⚠ Типичная ошибка Стрелку неизвестного стержня рисуют входящей в узел, потому что 'похоже, что он сжат'.
- Почему это ошибка
- Тогда положительный результат — это сжатие, наоборот по сравнению с принятым правилом, и в следующем узле неясно, какой знак подставлять.
- Как избежать
- Каждый неизвестный стержень — стрелка выходит. Знак результата определяет состояние.
- В главной задаче
- В A принимаем растяжение в N1 и получаем N1 = −4.243 t — стержень сжат.
-
08
Знак результата и переход к следующему узлу
Цель Прочитать состояние стержня и передать его дальше
Правило знаков
- +Растяжение — в узле стрелка выходит; на стержне стрелки направлены внутрь
- −Сжатие — в узле стрелка входит; на стержне стрелки направлены наружу
- 0Нулевой стержень
Порядок действий
- Записываем рядом со стержнем величину и состояние — например, 4.243 t сжатие. Теперь это данное.
- В следующем узле: сжатый стержень — стрелка входит и величина без минуса; растянутый стержень — стрелка выходит и величина.
- Повторяем свободное тело и уравнения, пока все стержни не станут известны.
⚠ Типичная ошибка Сжатый стержень: рисуют входящую стрелку и ещё подставляют минус.
- Почему это ошибка
- Знак учтён дважды — сила входит в обратном направлении, и всё дальнейшее неверно.
- Как избежать
- Стрелка входит → положительная величина. Минус — только когда стрелка ещё выходит (в пределах того же узла).
- В главной задаче
- В D: N1 сжат, поэтому подставляем +(4.243 · 0.707) и получаем N5 = −1.414 t и N4 = −2 t. С двойным минусом получается N5 = −9.9 t.
-
09
Проверки и итог
Цель убедиться, что ферма в равновесии, и свести все стержни в итог
Уравнения, которые мы не использовали, — это и есть проверка.
Допустимое отклонение ≤ 0.1в единицах tЧек-лист проверок
- Сумма вертикальных реакций = сумма нагрузок.
- В оставшихся узлах подставляем все силы: ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
- Не выходит 0 → проверяем реакции, углы и знак сжатого стержня.
- Итоговая таблица: для каждого стержня величина и состояние, для каждой опоры реакции.
| Стержень | Между узлами | Сила | Состояние |
|---|---|---|---|
| N1 | A–D | 4.243 t | Сжатие |
| N2 | A–C | 3 t | Растяжение |
| N3 | C–D | 0 | Нулевой стержень |
| N4 | D–F | 2 t | Сжатие |
| N5 | D–E | 1.414 t | Сжатие |
| N6 | C–E | 3 t | Растяжение |
| N7 | E–F | 1 t | Растяжение |
| N8 | F–B | 2.828 t | Сжатие |
| N9 | E–B | 2 t | Растяжение |
Полная страница — для подписчиков BST PRO
Решённый пример, ловушки и PDF для печати — в папках BST PRO.
Перейти на PRO Уже подписаны? ВходПапка по фермам · BST · beamsolvertool.com/ru/learn/sdp/trusses/
Все страницы в виде PDF, готового к печати, — в разделе Папки для скачивания BST PRO